Машинное представление чисел

Краткие теоретические сведения

Во время изучения курса «Архитектура ЭВМ и язык ассемблера» практические примеры выполняются на базе архитектуры Intel x86, которая опирается на двоичную систему счисления. Базовые сведения по системам счисления приведены в материале

•  «Введение в системы счисления» (501.27 Кбайт).

Для понимания способов представления чисел в ЭВМ можно ознакомиться со следующими материалами:

•  А. А. Вылиток. Представление чисел в ЭВМ (333.93 Кбайт).
•  А. А. Вылиток. Операции над битовыми наборами. Установка флагов и проверка условий (261.44 Кбайт)

Также ниже дано краткое пояснение.

Конвертер

Пояснение

Для архитектуры процессора наиболее оптимальной позиционной системой счисления является та, основание которой ближе к числу e. Поэтому наиболее подходящими кандидатами являются троичная и двоичная система счисления.

Троичные системы счисления не получили распространения (существовали единичные образцы троичных ЭВМ) из-за сложности производства элементной базы, поэтому подавляющее число ЭВМ работают с числами в двоичной системе счисления.

В машинном представлении один двоичный разряд называется «бит» (от английского «BInary digiT» — bit, двоичная цифра). Один бит хранит мало информации, поэтому в оперативной памяти ЭВМ отдельные биты группируются в ячейки памяти, каждая из которых имеет свой адрес (или условный номер).

Таким образом, ячейка является минимально адресуемым объектом оперативной памяти ЭВМ, и чтобы прочитать или изменить отдельный бит в оперативной памяти, требуется прочитать или изменить соответствующую ячейку памяти целиком. Размер ячеек памяти (то есть количество бит в каждой ячейке) определяется архитектурой ЭВМ.

Группа из нескольких бит называется «байт» (от английского «BinarY digiT Eight» — byte). В большинстве случаев, байт состоит из 8 бит, но бывают и другие реализации, например: 6 или 7 бит. Поэтому когда надо отличить «правильный» 8-битовый байт от «неправильного», встречается термин «октет». В архитектуре Intel x86 оперативная память состоит из 8-битовых ячеек, поэтому для хранения одного 8-битового байта достаточно одной ячейки памяти.

Восемью двоичными разрядами можно описать 256 различных значений от 0 до 255. Для расширения диапазона обрабатываемых значений байты группируются в «слова» (два байта или 16 бит), «двойные слова» (четыре байта или 32 бита) и далее:

• байт — 8 бит, 2⁸ = 256 значений,
• слово — 2 байта, 16 бит, 2¹⁶ = 65 536 значений,
• двойное слово — 4 байта, 32 бита, 2³² = 4 294 967 296 значений,
• четверное слово — 8 байт, 64 бита, 2⁶⁴ = 18,4 квинтиллионов значений,
• и так далее.

Понятно, что для обработки текстов в латинском и кириллическом алфавите достаточно выделять для хранения одной буквы по одному байту. Но для языков, набор знаков которых превышает 256, однобайтовой кодировки символов будет недостаточно.

С неотрицательными числами примерно такая же ситуация. То есть, по необходимости, используются либо байты, либо слова, либо двойные слова, либо четверные и т.д. Но далее встает вопрос о представлении отрицательных чисел. Есть варианты, например:

• можно кодировать знак числа в отдельном байте, но это неудачный вариант, так как оперативная память будет использоваться неэффективно,
• можно кодировать знак числа в отдельном бите.

На практике применяют второй вариант, который не только эффективно использует память, но и позволяет задействовать бит знака числа при работе с беззнаковыми неотрицательными числами. Если значение интерпретируется как число без знака, то бит знака числа трактуется как дополнительный разряд самого числа.

Таким образом получается, что при задействовании n битов памяти для обработки чисел их значения в диапазоне [0, 2^n − 1 − 1] будут представлены в памяти одинаковым набором двоичных разрядов как для знаковых чисел, так и для беззнаковых, так как бит знака числа будет равен нулю. А беззнаковые значения в диапазоне [2^n − 1, 2ⁿ − 1] будут неверно интерпретироваться в виде знаковых. И, наоборот, знаковые значения в диапазоне [−2^n − 1, 2^n − 1 − 1] будут неверно интерпретироваться в виде беззнаковых.

Соответственно, нужны разные наборы арифметико-логических команд и разные наборы команд ввода-вывода для знаковых и беззнаковых чисел, чтобы корректно интерпретировать старший бит в двоичном представлении чисел.

Тем не менее, есть способ, позволяющий для часто используемых операций сложения и вычитания обойтись единственным вариантом команд (остальные команды всё равно должны быть в двух комплектах). Для этого во многих архитектурах ЭВМ (и в архитектуре Intel x86, в частности) применяется двоичное представление в «дополнительном коде» для отрицательных значений:

• если 0 ≤ X, то в памяти записывается беззнаковое число равное X,
• а если X < 0, то записывается беззнаковое число равное 2ⁿ − | X | = 2ⁿ + X

Стоит помнить, что знаковые диапазоны для положительных и отрицательных чисел в дополнительном коде не симметричны. Поскольку «ноль» не входит в положительные числа, поэтому правая граница положительных значений на единицу меньше модуля левой границы.

Графически дополнительный код можно представить, как если бы отрезок [0, 2ⁿ] свернуть в кольцо и поверх него наложить отрезок [−2^n − 1, 2^n − 1 − 1]. Ниже приведён пример иллюстрации этого представления для 8-битового кода:

Можно убедиться, что представление в дополнительном двоичном коде позволяет использовать одни те же команды для сложения-вычитания как для знаковых, так и для беззнаковых чисел.

Если выполянется условие | x | < 2^n − 1, | y | < 2^n − 1, тогда знаковые числа x и y можно представить в дополнительном коде в n-битной ячейке. В этом случае результат сложения чисел x и y, записанных в дополнительном коде, будет эквивалентен результату сложения этих чисел в беззнаковой интерпретации. При проверке надо помнить, что результат операций вычисляется по модулю 2ⁿ, потому что в n-битной ячейке можно хранить только n двоичных разрядов.

• если 0  < x , 0 < y и (x + y) < 2^n − 1, тогда X = | x |, Y = | y |
  add ( X, Y ) = ( X + Y ) mod 2ⁿ = | x | + | y | = x + y
• если 0  < x  и y < 0, тогда X = | x |, Y = 2ⁿ − | y |
  add ( X, Y ) = ( X + Y ) mod 2ⁿ = ( | x | + 2ⁿ − | y | ) mod 2ⁿ = ( 2ⁿ − | y | + | x | ) mod 2ⁿ = | x | − | y | = x + y
• если x  < 0  и 0 < y, тогда X = 2ⁿ − x, Y = y
  add ( X, Y ) = ( X + Y ) mod 2ⁿ = ( 2ⁿ − | x | + | y | ) mod 2ⁿ = ( 2ⁿ − | x | + | y | ) mod 2ⁿ = −| x | + | y | = x + y
• если x < 0 и y < 0, тогда X = 2ⁿ − x, Y = 2ⁿ − y
  add ( X, Y ) = ( X + Y ) mod 2ⁿ = ( 2ⁿ − | x | + 2ⁿ − | y | ) mod 2ⁿ = ( 2ⁿ + 2ⁿ − | x | − | y | ) mod 2ⁿ = −| x | − | y | = x + y

Почему числа «перевёрнутые»

Большинство ЭВМ (за некоторым исключением) размещают данные в памяти в порядке возрастания старшинства: младшие значения размещают в ячейках с меньшим адресом, а старшие значения — в ячейках с большим адресом. Такой подход упрощает обработку длинных данных, занимающих несколько ячеек памяти подряд.

Например, программа для сложения (или вычитания) двух длинных целых чисел Z = X + Y, занимающих 16 ячеек памяти, будет представлять собой цикл из 16 итераций, в каждой из которых будет производиться арифметическая операция с очередной парой ячеек памяти с учетом признака переполнения (OF).

Максимальный эффект достигается тогда, когда требуется обрабатывать последовательность таких длинных чисел, которые не обязательно находятся в оперативной памяти ЭВМ или в устройстве с произвольным доступом. Действительно, если входные данные сплошным потоком поступают из устройства с последовательным доступом, например, из такого, как линия связи, магнитная лента или оптический диск, то, получив очередную ячейку данных, программа имеет возможность сразу её обработать, не дожидаясь прихода следующих данных.

А теперь внимание. Надеюсь, вы заметили в приведённых выше иллюстрациях, что адреса ячеек на иллюстрациях расположены в порядке возрастания слева-направо. Да, и биты тоже изображены в порядке возрастания старшинства разрядов слева-направо: слева — младший бит, а старший — справа. Но на письме мы записываем числа иначе. Сначала мы пишем старшие разряды, а потом младшие. Так вот, чтобы не было путаницы, и чтобы не тратить время на переворот записи числа в уме, для иллюстрации работы с числами ячейки памяти изображают в порядке возрастания адресов справа-налево. То есть справа изображают ячейки с младшими адресами, а слева — со старшими.

При таком подходе иллюстрация представления числа 46 901 (в двоичной записи — 1011 0111 0011 0101₂, в шестнадцатеричной записи — B7 35₁₆) по адресу X в ячейках размером в байт будет выглядеть так:

А представление числа 1 957 227 809 (111 0100 1010 1000 1110 1101 0010 0001₂, 74 A8 ED 21₁₆) по адресу Y будет выглядеть так: